Поверхность равного давления и каким уравнением она описывается

Уравнение поверхностей равного давления.

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Поверхность в каждой точке которой давление имеет одно и тоже значение, называется поверхность равного давления.P=const

Уравнение поверхности равного давления

Y=0, X=0, Z=-g т.к уравнение горизонтальной поверхности

Т.о. Любая горизонтальная поверхность проходящая через однородную покоящуюся жидкость есть плоскость равного давления.

13 Закон ПаскаляДля выбранных точек запишем соотношение:р1+ρgz1= р2+ρgz2 (3)давление точки 1 изменилось на величину р1+Δр1р1→ р1+Δр1тогда в точке Р2: р2→ р2+Δр2Будем полагать, что равновесие жидкости при этом не нарушается, жидкость остается в покое.В соответствии с гидростатическим законом распределения давления соотношение (3) должно выполняться и для измененных давлений.р1+Δр1+ ρgz1= р2+Δр2+ ρgz2Отсюда следует, что приращения давления в рассматриваемых точках будут одинаковыми: Δр1= Δр2Поскольку точки были выбраны произвольно, то можно утверждать, что изменение давления в какой-либо точке однородной покоящейся жидкости, не нарушающие ее равновесия, передается в пределах занимаемого объема, всем точкам одинаково.Это и есть закон Паскаля.Пример: гидравлический пресс.F2= Δр2·S2=[ Δр2= Δр1=F1/S1] → F2=(S2/S1)·F1

т.к. S2>S1, то F2>F1 → в S2/S1 раз !

14. Пьезометр.Пьезометр — это простейший прибор для измерения давления.Он представляет собой стеклянную трубку 5-12 мм, верхний конец которой сообщен с атмосферой, а нижний конец присоединен к сосуду в точку, где измеряется давление.РА=Ра+ρgh

Ризб=РА-Ра= ρgh (4)Избыточное давление в точке А уравновешивается давлением, которое создает столб жидкости в пьезометре.Ризб. А=Gст/S= ρgSh/S= ρghИз соотношения (4) следует:h= Ризб. А/ρgВысота подъема жидкости в пьезометре h называется пьезометрической высотой.Между величинами h и Ризб. А существует взаимно-однозначное соответствие, поэтому высотой столба в пьезометре можно измерять избыточное давление.Ризб. А= ρghЕсли в пьезометре используется вода, то давление соответствующее 1 см водного столба будет:Ризб. А(h=1 см)= ρgh(h=1 см)=1000·9,81·10-2=98,1

Сообщающиеся сосуды.

Сообщающиеся сосуды — объемы жидкостей, имеющие несколько свободных поверхностей, при этом две любые точки объемов могут быть соединены непрерывной линией.Рассмотрим два открытых сообщающихся сосуда, в которых находятся несмешивающиеся жидкости разных плотностей.Через поверхность раздела этих жидкостей проведем плоскость сравнения. Плоскость сравнения одновременно является и плоскостью равного давления. Ра+ρ1g(z01-z1)= Ра+ρ2g(z02-z2)

ρ1gz01= ρ2gz02 z01/ z02= ρ2/ ρ1 Уровни свободных поверхностей сообщающихся сосудах, относительно поверхности раздела разнородных жидкостей, обратно пропорциональны их плотностям.

ρ1= ρ2→ z01= z02Уровни одинаковы в сообщающихся сосудах, если жидкость однородна и одинакова.

8. Гидростатическое давление.

Если взять и рассм. , то получим величину, назыв-ю давлением жидкости в точке, к которой стягивается площадка ΔS. P= Давление — мера интенсивности внутр-х, поверх-х сил в жидкости, возникающих под действием внешних поверх-х и массовых сил. Давл-е в покоящейся ж. называется гидростатическим. dF=Pds Направление давления — давление в жидкости по направлению совпадает с внутренней нормалью к пов-ти, по которой оно действует. В системе СИ (Па=1Н/ ).

1 Бар= 1 мм. рт .ст.=133.3 Па 1 мм в. ст.=9.81 Па 1 атм=

Свойства:На внешние пов-ти жидкости гидростатич-е давление направлено по нормали внутрь V жидкости.В любой точке внутри ж. гидростатич-е давление по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от наклона площадки ΔS, по которой оно действует.Физически эти св-ва обусловлены тем, что покоящаяся жидкость не передает касат-е и растяг-е силы, а воспринимает только равномерное всестороннее сжатие. Любая ж. ч. сжата со всех сторон одинаково!

Источник

Поверхности равного давления

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

Рис. 2.6. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции Pu, равная по величине ma. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила Pu = mω2r, где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.7. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим

С другой стороны:

где z — координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем:

откуда

или после интегрирования

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = C, поэтому окончательно будем иметь

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.

Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (2.11) будем иметь

После сокращений получим

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

Источник

8 Поверхности равного давления

2.6. Поверхности равного давления

2.6.1. Основные определения

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

2.6.2. Жидкость в неинерциальных системах отсчета

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.15).

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции Pu, равная по величине ma.

Равнодействующая этих сил

направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Рис. 2.15. Движение цистерны с ускорением

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости.

Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

2.6.3. Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (рис.2.16), например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей.

В этом случае на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила Pu = mω2r, где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.16. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом, который описывается уравнением

Закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты записывается в виде

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В лекции рассмотрены свойства жидкостей и газов, основные законы равновесия жидкостей и газов и применение этих законов к решению практических задач. Настоящая лекция является теоретической базой для студентов-теплоэнергетиков, т. к. знание гидрогазодинамик (технической гидромеханики) необходимо для решения многочисленных инженерных задач, в том числе в теплогазоснабжении и вентиляции. в частности, для расчета трубопроводов, проектирование котельных агрегатов, печных и сушильных установок, воздухо- и газоочистных аппаратов, теплообменных аппаратов,.

Источник

5. Поверхности равного давления

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем. Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

Поверхность равного давления и каким уравнением она описывается

Рис. 2.6. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила инерции Pu, равная по величине ma. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила Pu= mω2r, где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Поверхность равного давления и каким уравнением она описывается

Рис. 2.7. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим

С другой стороны:

где z — координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем:

откуда

или после интегрирования

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z= h = C, поэтому окончательно будем иметь

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.

Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (2.11) будем иметь

После сокращений получим

Соседние файлы в папке Шпоры по гидре

#
#
#
#
#

Источник

Поверхность равного давления и ее форма при абсолютном покое

Поверхности равного давления. Формы свободной поверхности жидкости

Поверхностями равного давления называются поверхности с одинаковыми во всех точках давлениями. Тогда любая горизонтальная плоскость, проведенная в покоящейся жидкости, находящейся под действием силы тяжести, является поверхностью равного давления.

Свободной поверхностью называют плоскость раздела между жидкостью и газообразной средой. Равнодействующая всех сил, приложенных к каждой частице, лежащей на свободной поверхности покоящейся жидкости, нормальна к этой поверхности.

Рассмотрим формы свободной поверхности жидкости для следующих случаев:

1 — жидкость находится в покое под действием силы тяжести (рис. 2.4).

В этом случае на каждую частицу жидкости действует только одна сила — сила тяжести mg, которая направлена вертикально вниз, а свободная поверхность есть горизонтальная плоскость.

2 — жидкость находится в относительном покое по отношению к сосуду, движущемуся по горизонтальному пути с постоянным ускорением W (рис. 2.5).

В этом случае на каждую частицу жидкости действует сила тяжести mg и сила инерции mW, которая направлена в сторону, обратную ускорению. Равнодействующая этих сил составит с вертикалью угол

, тогда , а т.к. свободная поверхность должна быть нормальна к равнодействующей, то она будет представлять собой наклонную плоскость, составляющую с горизонтом тот же угол .

3 — относительное равновесие жидкости во вращающихся сосудах (рис. 2.6), ими могут быть центрифуги, сепараторы.

В этом случае на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии будут действовать сила тяжести mg и нормальная сила инерции

, где — расстояние частицы от оси вращения; — угловая скорость равномерного вращения сосуда. Свободная поверхность жидкости будет в каждой точке нормальна к равнодействующей R этих сил и будет представлять собой параболоид вращения вокруг оси z.

Источник

Поверхность равного давления и ее свойства

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) -называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулю dp = 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

.

(2.36)

где X, Y, Z- ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Рисунок 2.4 —

Первое свойство поверхности равного давления — поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлением p1 пересекается с поверхностью, на которой давление p2. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и p1 и p2 , что не возможно, т.к. p1 не равно p2, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления — массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силы dF = dm(X i + Y j +Z k) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давления dr = dx i + dy j +dz k. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) = dm (X dx + Y dy +Z dz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления (2.36). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления — в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называется однородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 408 ; Нарушение авторских прав

Источник

Поверхность равного давления

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

Жидкость в неинерциальных системах отсчета

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.15).

Рис. 2.15. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G=mg и сила инерции Pu = ma.

Равнодействующая этих сил R = ((mg) 2 +(ma) 2 ) 1/2 направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен tga = a/g.

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости.

Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (рис.2.16), например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей.

В этом случае на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы:

где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.16. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом, который описывается уравнением

Закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты записывается в виде

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

Равновесие газа

Уравнения равновесия, выведенные для жидкости, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости или газа.

Для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 2.11).

В однородной газовой среде (ρ = const), распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости.

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 2.11) на поверхности земли z=z и р=р,получим уравнение

где z — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до рассматриваемой точки (высота точки М); z — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до поверхности с заданным давлением р=р0.

Рис. 2.11. Равновесие газа в поле силы тяжести

Уравнения (2.17) и (2.18) показывают, что в поле силы тяжести изменение давления газа будет, так же как и в капельной жидкости, определяться только изменением расстояния от плоскости сравнения до рассматриваемой точки. Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат z>z.

Характер же этого изменения будет корректироваться в зависимости от закона изменения внутреннего состояния газа.

Источник