Поверхность равного давления и каким уравнением он описывается

Содержание статьи

Поверхность равного давления

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

Жидкость в неинерциальных системах отсчета

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.15).

Рис. 2.15. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G=mg и сила инерции Pu = ma.

Равнодействующая этих сил R = ((mg)2+(ma)2)1/2 направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен tga = a/g.

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости.

Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (рис.2.16), например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей.

В этом случае на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы:

сила тяжести G=mg

центробежная сила Pц=mω2r,

где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.16. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом, который описывается уравнением

Закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты записывается в виде

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

Равновесие газа

Уравнения равновесия, выведенные для жидкости, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости или газа.

Для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 2.11).

В однородной газовой среде (ρ = const), распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости.

Действительно при Х=0, У=0 и Z=-g.

dp = -ρgdz;(2.17)

p = -ρgz+C, C = p+ ρgz

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 2.11) на поверхности земли z=z0 и р=р0,получим уравнение

р = p0 + ρg(z0 — z), (2.18)

где z — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до рассматриваемой точки (высота точки М); z0 — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до поверхности с заданным давлением р=р0.

Рис. 2.11. Равновесие газа в поле силы тяжести

Уравнения (2.17) и (2.18) показывают, что в поле силы тяжести изменение давления газа будет, так же как и в капельной жидкости, определяться только изменением расстояния от плоскости сравнения до рассматриваемой точки. Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат z>z0.

Характер же этого изменения будет корректироваться в зависимости от закона изменения внутреннего состояния газа.

Уравнение поверхностей равного давления.

Поверхность равного давления и каким уравнением он описывается

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Поверхность в каждой точке которой давление имеет одно и тоже значение, называется поверхность равного давления.P=const

Уравнение поверхности равного давления

Y=0, X=0, Z=-g т.к уравнение горизонтальной поверхности

Т.о. Любая горизонтальная поверхность проходящая через однородную покоящуюся жидкость есть плоскость равного давления.

13 Закон ПаскаляДля выбранных точек запишем соотношение:р1+ρgz1= р2+ρgz2 (3)давление точки 1 изменилось на величину р1+Δр1р1→ р1+Δр1тогда в точке Р2: р2→ р2+Δр2Будем полагать, что равновесие жидкости при этом не нарушается, жидкость остается в покое.В соответствии с гидростатическим законом распределения давления соотношение (3) должно выполняться и для измененных давлений.р1+Δр1+ ρgz1= р2+Δр2+ ρgz2Отсюда следует, что приращения давления в рассматриваемых точках будут одинаковыми: Δр1= Δр2Поскольку точки были выбраны произвольно, то можно утверждать, что изменение давления в какой-либо точке однородной покоящейся жидкости, не нарушающие ее равновесия, передается в пределах занимаемого объема, всем точкам одинаково.Это и есть закон Паскаля.Пример: гидравлический пресс.F2= Δр2·S2=[ Δр2= Δр1=F1/S1] → F2=(S2/S1)·F1

т.к. S2>S1, то F2>F1 → в S2/S1 раз !

14. Пьезометр.Пьезометр – это простейший прибор для измерения давления.Он представляет собой стеклянную трубку 5-12 мм, верхний конец которой сообщен с атмосферой, а нижний конец присоединен к сосуду в точку, где измеряется давление.РА=Ра+ρgh

Ризб=РА-Ра= ρgh (4)Избыточное давление в точке А уравновешивается давлением, которое создает столб жидкости в пьезометре.Ризб. А=Gст/S= ρgSh/S= ρghИз соотношения (4) следует:h= Ризб. А/ρgВысота подъема жидкости в пьезометре h называется пьезометрической высотой.Между величинами h и Ризб. А существует взаимно-однозначное соответствие, поэтому высотой столба в пьезометре можно измерять избыточное давление.Ризб. А= ρghЕсли в пьезометре используется вода, то давление соответствующее 1 см водного столба будет:Ризб. А(h=1 см)= ρgh(h=1 см)=1000·9,81·10-2=98,1

Сообщающиеся сосуды.

Сообщающиеся сосуды – объемы жидкостей, имеющие несколько свободных поверхностей, при этом две любые точки объемов могут быть соединены непрерывной линией.Рассмотрим два открытых сообщающихся сосуда, в которых находятся несмешивающиеся жидкости разных плотностей.Через поверхность раздела этих жидкостей проведем плоскость сравнения. Плоскость сравнения одновременно является и плоскостью равного давления. Ра+ρ1g(z01-z1)= Ра+ρ2g(z02-z2)

ρ1gz01= ρ2gz02 z01/ z02= ρ2/ ρ1 Уровни свободных поверхностей сообщающихся сосудах, относительно поверхности раздела разнородных жидкостей, обратно пропорциональны их плотностям.

ρ1= ρ2→ z01= z02Уровни одинаковы в сообщающихся сосудах, если жидкость однородна и одинакова.

8. Гидростатическое давление.

Если взять и рассм. , то получим величину, назыв-ю давлением жидкости в точке, к которой стягивается площадка ΔS. P= Давление — мера интенсивности внутр-х, поверх-х сил в жидкости, возникающих под действием внешних поверх-х и массовых сил. Давл-е в покоящейся ж. называется гидростатическим. dF=Pds Направление давления – давление в жидкости по направлению совпадает с внутренней нормалью к пов-ти, по которой оно действует. В системе СИ (Па=1Н/ ).

1 Бар= 1 мм. рт .ст.=133.3 Па 1 мм в. ст.=9.81 Па 1 атм=

Свойства:На внешние пов-ти жидкости гидростатич-е давление направлено по нормали внутрь V жидкости.В любой точке внутри ж. гидростатич-е давление по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от наклона площадки ΔS, по которой оно действует.Физически эти св-ва обусловлены тем, что покоящаяся жидкость не передает касат-е и растяг-е силы, а воспринимает только равномерное всестороннее сжатие. Любая ж. ч. сжата со всех сторон одинаково!

Источник

Что такое поверхность равного давления и каким уравнением она описывается

Поверхности равного давления.

Поверхность, во всех точках которой значения гидростатического давления равны между собой, называют поверхностью равного давления или поверхностью уровня. На положение уровня свободной поверхности влияют силы тяжести и инерции.

Найдем величину равного давления Р по трем частным производным. При Р=const и р # 0 значение полного дифференциала dP=0 и, следовательно, уравнение поверхности жидкости равного давления имеет вид

Это уравнение называется уравнением поверхности жидкости равного или постоянного давления. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи.

Первый случай, когда на покоящуюся жидкость действует одна внешняя сила, сила тяжести, тогда

, , (направление ускорения свободного падения не совпадает с положительным направлением оси Z). В этом случае исходное уравнение имеет вид

или

т. е. получаем поверхности равного давления, представляющие собой семейство горизонтальных плоскостей. Каждому значению Z соответствует плоскость, точки которой имеют определенное постоянное значение давления. Свободная поверхность жидкости (для ограниченного объема), в данном случае—одна из плоскостей равного давления. Имеем в виду, что свободная поверхность — это поверхность на границе жидкой и газообразной сред. На свободную поверхность будет приложено постоянное давление равное атмосферному.

Второй случай, когда поверхность равного давления может быть наклонной.

В этом случае единичная масса жидкости находится под действием силы тяжести Z= -1 *g и горизонтального ускорения силы инерции Х= —1*а (к цистерне приложена сила с ускорением а, а к жидкости—такая же по величине сила инерции с ускорением — а).

Составляющие массовых сил в уравнении получают значения:

Из этого выражения следует, что наибольшее давление будет в точке z=0 и максимальным отрицательным значением х.

Третий случай, когда жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг его вертикальной оси с постоянной угловой скоростью а.

В этом случае на частицу жидкости массой m=l действуют сила тяжести G= -1*g, параллельная оси z, и центробежная сила F=1•v 2 /r=w 2 *r, перпендикулярная к оси z.

Из уравнения видно, что при вращении сосуда наибольшее давление будет в точках у дна и на боковых стенках сосуда.

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) –называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулю dp = 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

(2.36)

где X, Y, Z– ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Первое свойство поверхности равного давления — поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлением p1 пересекается с поверхностью, на которой давление p2. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и p1 и p2 , что не возможно, т.к. p1 не равно p2, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления — массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силы dF = dm(X i + Y j +Z k) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давления dr = dx i + dy j +dz k. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) = dm (X dx + Y dy +Z dz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления (2.36). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления — в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называется однородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.

Принципы преобразования давлений и усилий.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник

Тема 5 Поверхность уровня

Поверхностью уровня называется такая поверхность, все точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой функции: например, поверхность равной температуры (изотермическая поверхность), поверхность равного потенциала и т.д. Для рассмотрения задач гидрогазодинамики особое значение имеет поверхность равного давления, которую кратко будем называть поверхностью уровня.

Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления (или поверхностью уровня).

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики (4.6) dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) получим

r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) = 0.

Так как плотность r ¹ 0, то

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0. (5.1)

где X, Y и Z – проекции ускорения массовой (объёмной при r = const) силы на координатные оси.

Уравнение (5.1) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.

Свойства поверхности уровня

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

Действительно, допустим, что поверхность давления р1 пересекается с поверхностью давления р2. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление должно быть одновременно равным и р1 и р2, что невозможно, так как р1 ¹ р2. Следовательно, пересечение этих поверхностей невозможно.

2. Внешние массовые (объёмные) силы направлены нормально к поверхности уровня.

Доказать это положение можно следующим образом. Работа силы dF на элементарном пути dl равна: dА = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz). Но для поверхности уровня трёхчлен в скобках равен нулю, поэтому работа силы dF на пути dl вдоль поверхности уровня равна нулю (dА = 0).

С другой стороны, согласно рис. 8 работа силы dF равна dА = dF × cosQ × dl. Поскольку dА = 0, а dF ¹ 0 и dl = 0, то cosQ должен быть равен нулю, то есть угол Q =

Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с 2 будет направлено параллельно оси 0z.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня (5.1) X × dx + Y × dy + Z × dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

– g × dz = 0 или dz = 0. (5.2)

Интегрируя это уравнение, находим

Так как С = const – произвольная постоянная, то это уравнение (5.3) будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,

Итак, ели на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остаётся неизменным (рис. 9). При равновесии газа гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f(z).

Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р (рис. 10). Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление рбар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью. В условиях равновесия поверхность уровня неподвижна.

Рисунок 9 Рисунок 10

Волновая поверхность водоёма также есть поверхность уровня рбар, но волновая поверхность изменяется во времени, то есть подвижна.

Проведём произвольную горизонтальную плоскость n – n (рис. 10). Эта плоскость также будет поверхностью уровня. Во всех точках этой плоскости давление будет одинаковым.

Так как плоскости n – n и свободной поверхности параллельны между собой, то все точки плоскости n – n находятся на одной и той же глубине. Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины погружения точки под уровень свободной поверхности и на одинаковой глубине гидростатическое давление в любой точке будет одним и тем же.

Этот вывод является выражением следствия из закона Паскаля.

Следствие из закона Паскаля: на данном горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости давление во всех точках одинаково.

Тема 6 Распределение гидростатического давления (Интегрирование уравнения Эйлера)

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (4.6)

dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz).

В случае равновесия несжимаемой жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы (силы тяжести) X, Y и Z на координатные оси 0x, 0y и 0z (ось 0z направлена вертикально вверх) равны соответственно:

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики (4.6) имеем:

dp = – r × g × dz

+ dz = 0. (6.1)

Интегрируя (6.1) при r = const, имеем

+ z = С, (6.2)

где С – постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим резервуар, заполненный жидкостью (рис. 12).

Для точки m, лежащей на свободной поверхности жидкости р = рсв и z = z. Подставляя эти значения в (6.2) находим, что

С =

+ z.

+ z = + z

где h – глубина погружения рассматриваемой точки под уровень свободной поверхности жидкости.

Окончательно основное уравнение гидростатики (в интегральной форме) имеет вид:

где р – полное (или абсолютное) давление в рассматриваемой точке;

рсв – давление на свободную поверхность жидкости (внешнее давление). Часто обозначается р;

r × g × h – относительное (или весовое) давление. Эта величина равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте h.

Общий гидростатический закон может быть сформулирован следующим образом: давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице.

Иначе можно сказать, что абсолютное (полное) давление в рассматриваемой точке равно внешнему давлению, сложенному с давлением столба жидкости над точкой.

Если абсолютное давление в рассматриваемой точке р больше атмосферного рбар, то разность (р – рбар) представляет собой превышение полного давления над атмосферным и называется манометрическим или избыточным давлением в данной точке:

Если давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному (рсв = рбар), то

В этом случае избыточное и весовое давление совпадают.

Если абсолютное давление в точке меньше атмосферного, то недостача абсолютного давления до атмосферного называется вакуумом или разрежением:

Источник