Под каким давлением находится воздух в пузырьке под водой
Содержание статьи
Под каким давлением находится воздух в пузырьке под водой
Теоретические исследования движения пузырьков воздуха в потоке воды при аэрации
УДК 628.16. Научная специальность: 05.23.04.
Теоретические исследования движения пузырьков воздуха в потоке воды при аэрации
В. Б. Викулина, к.т.н., доцент; Л. В. Инешина, студентка бакалавриата, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ)
Аэрационные сооружения, используемые в очистке воды, требуют оптимизации технологического процесса по признакам формирования и распределения воздушных масс в потоке водоочистного сооружения. В качестве транспортного потока в водоочистных сооружениях используется вода, поэтому это обстоятельство позволяет использовать законы гидродинамики потока при всплытии пузырьков воздуха в качестве дополнительного фактора. В статье приводятся физические принципы всплытия пузырьков воздуха при аэрации. Теоретически обосновывается всплывание пузырьков воздуха в статических условиях жидкости и динамических условиях потока. Получена теоретическая зависимость, которая направлена на нормализацию неустойчивости работы аэрационных сооружений и на определение оптимальных условий технологического процесса.
Ключевые слова: аэрация, пузырёк воздуха, вязкость динамическая, скорость потока, граница раздела фаз, распределение скоростей.
UDC 628.16. The number of scientific speciality: 05.23.04.
Theoretical studies of the motion of air bubbles in the water flow during aeration
V. B. Vikulina, PhD, Associate Professor; L. V. Inesina, undergraduate student, Moscow e University of Civil Engineering (MGSU)
Aeration facilities used in water treatment require optimization of the technological process on the basis of the formation and distribution of air masses in the flow of the water treatment plant. Water is used as a transport flow in water treatment facilities, so this circumstance allows to use the laws of flow hydrodynamics at the ascent of air bubbles as an additional factor. Physical principles of air bubbles ascent during aeration are given. Theoretically justified the rise of air bubbles in ic fluid conditions and dynamic flow conditions. The obtained theoretical dependence, which is aimed at the normalization of instability of operation of the aeration structures and the determination of optimal process conditions.
Keywords: aeration, air bubble, dynamic viscosity, flow rate, phase boundary, velocity distribution.
Аэрационные сооружения, используемые в очистке воды, требуют оптимизации технологического процесса по признакам формирования и распределения воздушных масс в потоке водоочистного сооружения. В качестве транспортного потока в водоочистных сооружениях используется вода, поэтому это обстоятельство позволяет использовать законы гидродинамики потока при всплытии пузырьков воздуха в качестве дополнительного фактора. В статье приводятся физические принципы всплытия пузырьков воздуха при аэрации. Теоретически обосновывается всплывание пузырьков воздуха в статических условиях жидкости и динамических условиях потока. Получена теоретическая зависимость, которая направлена на нормализацию неустойчивости работы аэрационных сооружений и на определение оптимальных условий технологического процесса.
Движение потоков в сооружениях водоочистки с аэрацией (например, аэротенк, аэрофильтр, аэрируемая песколовка) создают технологическую особенность. Основным процессом, в физическом понимании аэрации, является движение пузырьков воздуха снизу вверх. Рассмотрим всплывание пузырька воздуха в жидкости, находящейся в состоянии покоя.
Предположим, что пузырёк воздуха в жидкости имеет форму шара [1].
На всплывающий пузырёк действуют три силы: сила тяжести Fт, архимедова сила Fа и сила сопротивления Fc (рис. 1). В проекции на вертикальную ось OY подъёмная сила Fп равна:
Силы выражаются в ньютонах (Н).
Рассмотрим действие сил при равномерном движении пузырька в воде.
Сила Архимеда (выталкивающая сила) приводит пузырёк в движение вверх, при этом диаметр пузырька увеличивается, достигая своего максимума на поверхности воды.
Сила Стокса (сила трения) при движении пузырька действует в направлении, противоположном силе Архимеда, и направлена сверху вниз.
Сила тяжести действует в условиях ускорения свободного падения и направлена сверху вниз.
Сила Стокса возникает в результате взаимодействия жидкости с пузырьком и равна силе трения, на преодоление которой затрачивается работа.
Разность энергий двух состояний пузырька до начала совершения работы и после — это работа как избыточная свободная энергия. С точки зрения гидростатики дополнительная потенциальная энергия равносильна динамическому напору.
При условии сжимаемости воздуха и при движении пузырька вверх наружное давление на стенки пузырька будет меняться с высотой, а диаметр пузырька будет увеличиваться. Расширение воздуха в пузырьке может происходить либо изотермически, либо адиабатически. Поскольку размер пузырька определяют условия гидростатики и силы Стокса, то принимаем расширение воздуха в пузырьке как изотермическое, поэтому размеры пузырька должны быть достаточно малыми.
Запишем условие для изотермического процесса при вертикальном всплытии пузырька воздуха:
где p — давление жидкости, Па; V — объём жидкости, м³.
Если p — атмосферное давление [Па], то давление на глубине h [м] в жидкости плотностью ρ [кг/м³] будет равно (p + ρgh), где g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; ρ — плотность жидкости, кг/м³; h — глубина, м.
Согласно закону изотермического расширения пузырька (2) на глубине слоя жидкости найдём радиус пузырька:
где r — радиус пузырька на поверхности воды, мм.
Пузырёк движется со скоростью v в жидкости, характеризуемой динамической вязкостью [Па·с]. Движение сферического пузырька в жидкости, которая рассматривается как непрерывная среда, и размеры которого (пузырька) значительно превышают размеры молекул среды, описывается уравнением Стокса для вязкого сопротивления:
где Fc — сила Стокса, Па; м — динамическая вязкость, Па·с или Н·с/м²; v — скорость всплытия пузырька, м/с.
Сила Архимеда Fа (подъёмная сила для пузырька) определяется из выражения
и она равна силе Стокса.
Сила тяжести равна:
где m — масса пузырька, кг.
Сила тяжести зависит от геометрических размеров пузырька. Эта сила крайне мала в сравнении с силами, действующими на пузырёк воздуха в воде, следовательно, значением силы тяжести можно пренебречь.
Скорость всплывания пузырька находится по уравнению:
От шарообразной формы переходим к изменению форм пузырька [2, 3].
Пузырёк находится в движении во время подъёма до поверхности воды. При этом пузырёк воздуха принимает шарообразную форму за счёт действия сил поверхностного натяжения.
Кроме того, изменение давлений сред (внутренней и внешней) пузырька приводит к деформации его поверхности, что способствует колебанию пузырька.
Применительно к единичному всплывающему пузырьку, на границе раздела фаз возникает разность давлений Δр, описываемая уравнением:
где р1 и р2 — давления двух фаз на глубине, Па; σ1,2 — поверхностное натяжение на границе двух фаз, Н/м; Rк — радиус кривизны поверхности рассматриваемого пузырька, м.
В результате увеличения объёма и изменения формы пузырька возникают его колебательные движения. Траектория всплытия пузырька принимается смещающейся относительно вертикали и носит волновой характер (рис. 2).
Теперь известны все величины, определяющие силу Стокса, что позволяет вычислить работу, совершаемую всплывающим пузырьком.
Вертикальное направление всплывания пузырька выберем за ось Oy.
Увеличение размеров и изменение формы пузырька передаётся окружающей пузырёк жидкости. Тем самым возникает суммарная работа dA и приращение свободной энергии согласно силам, действующим на пузырёк (рис. 1).
Поэтому приращение свободной энергии du в пересчёте на один пузырёк определится равенством:
где du и dA выражаются в джоулях (Дж).
Используя в формуле (9) выражения для силы Стокса (4), радиуса пузырька (3) и скорости всплытия пузырька (7), получаем следующий результат:
Для расчёта свободной энергии пузырьков введём функцию распределения f (r), которая представляет собой плотность вероятности обнаружения размера пузырька в единичном объёме между пузырьками с радиусами r и (r + dr).
Количество пузырьков с такими размерами в объёме dV будет равно f (r)drdV, поэтому их вклад в свободную энергию запишется как:
Помня, что V = 4/3(πr 3 ), и интегрируя по всем возможным размерам пузырьков, получаем:
здесь r_ 03 — среднее значение куба радиуса пузырька на уровне поверхности жидкости, мм³; количество пузырьков в единице объёма жидкости, шт.
Термодинамическая связь параметров системы определяет давление р в системе как производную свободной энергии по объёму. Избыточное давления жидкости тогда составит:
Рассмотрим всплытие пузырька воздуха в потоке жидкости при ламинарном режиме течения.
На рис. 3 представлена схема воздействие потока жидкости на вертикальное всплывание пузырька воздуха. Под воздействием распределения скоростей потока v = f(h) происходит смещение пузырька от вертикальной оси Oy. Согласно основным законам гидродинамики распределение скоростей зависит от кинетической энергии потока [3, 4]. По сечению потока происходит распределение скоростей, которые зависят от сопротивления между слоями жидкости при движении.
Нижние слои потока имеют сопротивление движению за счёт шероховатости дна, а движение верхнего слоя замедляется на границе раздела фаз «вода-воздух».
Обозначим через a [мм] расстояние от оси Oy до всплывшего пузырька на поверхности жидкости, а через b [мм] расстояние от оси Oy до всплывающего пузырька, максимально сместившегося по направлению движения жидкости.
Разница между a и b всплывающего пузырька зависит от скорости потока. Тогда выражение (14) запишется как
Полученная математическая зависимость позволяет более точно осуществить численные эксперименты на определённом этапе проектирования аэрационных сооружений систем водоочистки.
Эти действия направлены на нормализацию неустойчивости работы аэрационных сооружений и на определение оптимальных условий технологического процесса.
Выводы
1. Произведён анализ воздействия физических факторов на движение пузырька воздуха в воде, основанный на изотермическом процессе.
2. Получено уравнение, в котором приводится термодинамическая связь в определении давления в системе, как производная свободной энергии в потоке воды с учётом гидродинамических отклонений.
3. Использование полученного выражения позволяет повысить эффективность процесса водоочистки с применением аэрации.
Источник
Вес воздуха. Атмосферное давление. Опыт Торричелли
Решебник к сборнику задач по физике для 7- 9 классов, Перышкин А.В.
438. Почему не выливается вода из перевернутого стакана (рис. 57)?
Вода удерживается за счет атмосферного давления.
439. Выразите нормальное атмосферное давление в паскалях (Па) и гектопаскалях (гПа).
1 атм = 101 300 Па = 103 гПа.
440. Какой высоты должен быть столб воды, чтобы уравновесить нормальное атмосферное давление?
441. Вычислите, с какой силой давит воздух на поверхность стола, имеющего длину 1 м, а ширину 60 см.
442. Ртутный барометр показывает давление 700 мм рт.ст. С какой силой давит при этом воздух на каждый квадратный сантиметр?
443. C какой силой давит воздух на поверхность крышки ящика площадью 1,5 м2 ?
444. Почему крышка стола не проваливается под весом воздуха?
Давление равномерно распределено по всей площади крышки.
445. Если наклонить трубку Торричелли (рис. 58), что произойдет со столбиком ртути?
Уровень ртути останется на прежней высоте.
446. В трубке Торричелли высота столбика ртути 760 мм. Что произойдет со столбиком ртути, если с трубкой Торричелли подняться на гору?
Столбик ртути опустится так как атмосферное давление уменьшится.
447. Трубка Торричелли в середине имеет шарообразную форму (рис. 59). На какой высоте установится в ней уровень ртути, если в стоящей рядом прямой трубке ртуть находится на высоте 760 мм?
448. Под колоколом воздушного насоса находится закрытый пробкой пузырек с водой. Сквозь пробку пузырька пропущена стеклянная трубка. Когда из-под колокола выкачивают воздух, из трубки бьет фонтан воды (рис. 60). Почему?
Вода выливается под давлением воздуха, который остался в пузырьке.
449. Закрытый пробкой флакон помещают под колокол насоса. При выкачивании воздуха из-под колокола пробка из флакона вылетает. Почему?
Пробка вылетает из-за разности давлений внутри и снаружи флакона.
450. Будет ли меняться объем резинового воздушного шарика при его подъеме (изменение температуры не учитывать)? Если да, то как именно?
При подъеме атмосферное давление будет падать, объем шарика будет увеличиваться.
451. У подножия горы при помощи всасывающего поршневого насоса можно поднимать воду на высоту до 10 м. На какую высоту можно таким же насосом поднять воду на вершине горы, где давление равно 600 мм рт.ст.?
452. Бутылка со сжатым воздухом уравновешена на весах. Сквозь пробку бутылки пропущена стеклянная трубка с резиновым шариком на конце (рис. 61, а). Останутся ли весы в равновесии, если часть воздуха из бутылки перейдет в шарик и раздует его (рис. 61, б)?
Весы останутся в равновесии, поскольку масса воздуха на весах не изменилась.
453. Какова высота горы, если у подножия горы барометр показывает 760 мм рт.ст., а на вершине горы — 610 мм рт.ст. (плотность воздуха считать равной 1,3 кг/м3 )?
454. Плотность воздуха 1,3 кг/м3 . Самолет поднялся на высоту 2 км. Как изменилось показание барометра?
455. Как изменяется объем пузырька воздуха, когда этот пузырек поднимается со дна водоема на поверхность?
Пузырек увеличивается, т.к. давление на него уменьшается.
456. Почему подъем на высокую гору часто связан с болью и кровотечением из ушей и носа?
В горах атмосферное давление ниже, чем на равнине.
457. 100 м3 водорода, находящегося при нормальном давлении, нагнетают в стальной баллон объемом 5 м3 . Найдите давление в баллоне.
458. В автомобильную шину объемом 0,025 м3 накачали воздух до давления 8·10-5 Па. Найдите плотность воздуха внутри шины, если плотность воздуха при давлении 8·10-5 Па равна 1,29 кг/м3 .
459. В погруженном в воду водолазном колоколе уровень воды на 1033 см ниже поверхности воды. Найти плотность воздуха в колоколе, если плотность воздуха над поверхностью воды 1,29 кг/м3 .
460. На рисунке 62 изображена горизонтально расположенная, наполненная водой труба с двумя поршнями А и В. В своей широкой части труба имеет площадь поперечного сечения S2 =1 дм2 , а в узкой — S1 =10 cм2 . На поршень В действует сила 10кН. Какой силой надо действовать на поршень А, чтобы уравновесить силу, действующую на поршень В?
461. На рисунке 63 изображен простейший паровой котел: 1 — котел (замкнутый сосуд из листов стали), 2 — вода в котле, 3 — пространство, где собирается пар, 4 — манометр. При испытании парового котла гидравлическим прессом давление на стенки котла резко падает, как только образуется течь. Почему?
Давление падает потому что объем, занимаемый газом увеличивается.
462. Если воду в гидравлическом прессе заменить более тяжелой жидкостью, например глицерином, изменится ли производимое при помощи пресса давление?
Если плотность жидкости увеличится, то увеличится и производимое давление.
463. В прессе площадь большого поршня 1500 см2 , а площадь малого поршня 2 см2 . На малый действует сила в 100Н. Определите силу давления, производимую большим поршнем.
464. Площадь большого поршня пресса в 1000раз больше площади малого. Какая сила действует на малый поршень, если сила давления, производимого большим поршнем, составляет 25 кН?
465. Площадь малого поршня 1 см2 , а площадь большого 1 м2 . Поршни находятся в равновесии. Во сколько раз сила давления на большой поршень больше силы давления на малый?
466. На малый поршень производится давление, равное 500 кПа. С какой силой давит большой поршень, если его площадь 1200см2 ?
467. Малый поршень гидравлического пресса имеет площадь 5 см2 . С какой силой надо давить на малый поршень при испытании прессом парового котла на давление 255 кПа?
468. Будет ли гидравлический пресс действовать одинаково на Земле и на Луне?
На Луне справедлив, в условиях невесомости — нет.
Источник
Источник
Теоретические исследования движения пузырьков воздуха в потоке воды при аэрации
Движение потоков в сооружениях водоочистки с аэрацией (например, аэротенк, аэрофильтр, аэрируемая песколовка) создают технологическую особенность. Основным процессом, в физическом понимании аэрации, является движение пузырьков воздуха снизу вверх. Рассмотрим всплывание пузырька воздуха в жидкости, находящейся в состоянии покоя.
Предположим, что пузырёк воздуха в жидкости имеет форму шара [1].
На всплывающий пузырёк действуют три силы: сила тяжести Fт, архимедова сила Fа и сила сопротивления Fc (рис. 1). В проекции на вертикальную ось OY подъёмная сила Fп равна:
Силы выражаются в ньютонах (Н).
Рассмотрим действие сил при равномерном движении пузырька в воде.
Сила Архимеда (выталкивающая сила) приводит пузырёк в движение вверх, при этом диаметр пузырька увеличивается, достигая своего максимума на поверхности воды.
Сила Стокса (сила трения) при движении пузырька действует в направлении, противоположном силе Архимеда, и направлена сверху вниз.
Сила тяжести действует в условиях ускорения свободного падения и направлена сверху вниз.
Сила Стокса возникает в результате взаимодействия жидкости с пузырьком и равна силе трения, на преодоление которой затрачивается работа.
Разность энергий двух состояний пузырька до начала совершения работы и после — это работа как избыточная свободная энергия. С точки зрения гидростатики дополнительная потенциальная энергия равносильна динамическому напору.
При условии сжимаемости воздуха и при движении пузырька вверх наружное давление на стенки пузырька будет меняться с высотой, а диаметр пузырька будет увеличиваться. Расширение воздуха в пузырьке может происходить либо изотермически, либо адиабатически. Поскольку размер пузырька определяют условия гидростатики и силы Стокса, то принимаем расширение воздуха в пузырьке как изотермическое, поэтому размеры пузырька должны быть достаточно малыми.
Запишем условие для изотермического процесса при вертикальном всплытии пузырька воздуха:
pV = const, (2)
где p — давление жидкости, Па; V — объём жидкости, м³.
Если p0 — атмосферное давление [Па], то давление на глубине h [м] в жидкости плотностью ρ [кг/м³] будет равно (p0 + ρgh), где g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2; ρ — плотность жидкости, кг/м³; h — глубина, м.
Согласно закону изотермического расширения пузырька (2) на глубине слоя жидкости найдём радиус пузырька:
где r0 — радиус пузырька на поверхности воды, мм.
Пузырёк движется со скоростью v в жидкости, характеризуемой динамической вязкостью [Па·с]. Движение сферического пузырька в жидкости, которая рассматривается как непрерывная среда, и размеры которого (пузырька) значительно превышают размеры молекул среды, описывается уравнением Стокса для вязкого сопротивления:
где Fc — сила Стокса, Па; м — динамическая вязкость, Па·с или Н·с/м²; v — скорость всплытия пузырька, м/с.
Сила Архимеда Fа (подъёмная сила для пузырька) определяется из выражения
и она равна силе Стокса.
Сила тяжести равна:
где m — масса пузырька, кг.
Сила тяжести зависит от геометрических размеров пузырька. Эта сила крайне мала в сравнении с силами, действующими на пузырёк воздуха в воде, следовательно, значением силы тяжести можно пренебречь.
Скорость всплывания пузырька находится по уравнению:
От шарообразной формы переходим к изменению форм пузырька [2, 3].
Пузырёк находится в движении во время подъёма до поверхности воды. При этом пузырёк воздуха принимает шарообразную форму за счёт действия сил поверхностного натяжения.
Кроме того, изменение давлений сред (внутренней и внешней) пузырька приводит к деформации его поверхности, что способствует колебанию пузырька.
Применительно к единичному всплывающему пузырьку, на границе раздела фаз возникает разность давлений Δр, описываемая уравнением:
где р1 и р2 — давления двух фаз на глубине, Па; σ1,2 — поверхностное натяжение на границе двух фаз, Н/м; Rк — радиус кривизны поверхности рассматриваемого пузырька, м.
В результате увеличения объёма и изменения формы пузырька возникают его колебательные движения. Траектория всплытия пузырька принимается смещающейся относительно вертикали и носит волновой характер (рис. 2).
Теперь известны все величины, определяющие силу Стокса, что позволяет вычислить работу, совершаемую всплывающим пузырьком.
Вертикальное направление всплывания пузырька выберем за ось Oy.
Увеличение размеров и изменение формы пузырька передаётся окружающей пузырёк жидкости. Тем самым возникает суммарная работа dA и приращение свободной энергии согласно силам, действующим на пузырёк (рис. 1).
Поэтому приращение свободной энергии du в пересчёте на один пузырёк определится равенством:
где du и dA выражаются в джоулях (Дж).
Используя в формуле (9) выражения для силы Стокса (4), радиуса пузырька (3) и скорости всплытия пузырька (7), получаем следующий результат:
Для расчёта свободной энергии пузырьков введём функцию распределения f (r), которая представляет собой плотность вероятности обнаружения размера пузырька в единичном объёме между пузырьками с радиусами r и (r + dr).
Количество пузырьков с такими размерами в объёме dV будет равно f (r)drdV, поэтому их вклад в свободную энергию запишется как:
Помня, что V0 = 4/3(πr03), и интегрируя по всем возможным размерам пузырьков, получаем:
здесь r_ 03 — среднее значение куба радиуса пузырька на уровне поверхности жидкости, мм³; количество пузырьков в единице объёма жидкости, шт.
Термодинамическая связь параметров системы определяет давление р в системе как производную свободной энергии по объёму. Избыточное давления жидкости тогда составит:
Рассмотрим всплытие пузырька воздуха в потоке жидкости при ламинарном режиме течения.
На рис. 3 представлена схема воздействие потока жидкости на вертикальное всплывание пузырька воздуха. Под воздействием распределения скоростей потока v = f(h) происходит смещение пузырька от вертикальной оси Oy. Согласно основным законам гидродинамики распределение скоростей зависит от кинетической энергии потока [3, 4]. По сечению потока происходит распределение скоростей, которые зависят от сопротивления между слоями жидкости при движении.
Нижние слои потока имеют сопротивление движению за счёт шероховатости дна, а движение верхнего слоя замедляется на границе раздела фаз «вода-воздух».
Обозначим через a [мм] расстояние от оси Oy до всплывшего пузырька на поверхности жидкости, а через b [мм] расстояние от оси Oy до всплывающего пузырька, максимально сместившегося по направлению движения жидкости.
Разница между a и b всплывающего пузырька зависит от скорости потока. Тогда выражение (14) запишется как
Полученная математическая зависимость позволяет более точно осуществить численные эксперименты на определённом этапе проектирования аэрационных сооружений систем водоочистки.
Эти действия направлены на нормализацию неустойчивости работы аэрационных сооружений и на определение оптимальных условий технологического процесса.
Выводы
1. Произведён анализ воздействия физических факторов на движение пузырька воздуха в воде, основанный на изотермическом процессе.
2. Получено уравнение, в котором приводится термодинамическая связь в определении давления в системе, как производная свободной энергии в потоке воды с учётом гидродинамических отклонений.
3. Использование полученного выражения позволяет повысить эффективность процесса водоочистки с применением аэрации.
Источник