Какого давление воздуха в шахте на глубине 1 км
Распределение Больцмана. Барометрическая формула. — 27 Марта 2013 — Примеры решений задач
Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
Задача. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если
считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а
ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у
поверхности Земли равно p0.
Решение задачи.
Задача 4.8 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе.
Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого
концентрация пылинок различается не более чем на δ= 1%.
Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна Т = 300 К.
Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.
Решение
При равновесном распределении пылинок их концентрация
зависит только от вертикальной координаты z и описывается
функцией распределения Больцмана
Задача 4.9 Определить силу, действующую на частицу,
находящуюся во внешнем однородном поле тяготения, если
отношение концентраций частиц n1/n2 на двух уровнях, отстоящих
друг от друга на z = 1 м, равно е. Температуру считать постоянной и
равной Т = 300 К.
Задача 4.10 Идеальный газ находится в бесконечно высоком
вертикальном цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая 83
поле сил тяжести однородным, найти: 1) среднее значение
потенциальной энергии U молекул газа; 2) как изменится давление
газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.
Задача 4.11 Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используя
функцию распределения Больцмана, установить распределение концентрации
n для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.
4.82 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе. Определить,
на сколько различается относительная величина концентрации
частиц в пределах толщины слоя воздуха h = 4,23 мм. Температура
воздуха во всем объеме одинакова и равна Т = 300 К.
4.83 Найти силу, действующую на частицу со стороны
однородного поля, если концентрация этих частиц на двух уровнях,
отстоящих друг от друга на расстоянии z = 30 см (вдоль поля),
отличаются в = 2 раза. Температура системы Т = 280 К.
4.84 Пусть η0 отношение концентрации молекул водорода к
концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а
соответствующее отношение на высоте h = 3000 м. Найти отношение
0 при температуре Т = 280 К, полагая, что температура и ускорение
свободного падения не зависят от высоты. Молярная масса водорода μ= 2 *10–3
кг/моль, молярная масса азота μ= 28 *10–3
кг/моль.
4.85 Найти изменение высоты h, соответствующее изменению
давления на Р = 100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности
Земли при температуре Т1 = 290 К и давлении Р1 = 100 кПа; 2) на
некоторой высоте, где температура Т2 = 220 К и давление Р2 = 25 кПа.
Молярная масса воздуха μ= 29 *10–3
кг/моль.
4.86 На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха
уменьшится: а) в 2 раза; б) в е раз? Считать, что температура воздуха 92
Т и ускорение свободного падения g не зависят от высоты h.
Молярная масса воздуха = 29 *10–3
кг/моль, температура Т = 273 К.
4.87 Пассажирский самолет совершает полет на высоте
h = 8300 м. В кабине поддерживается постоянное давление,
соответствующее высоте h0 = 2700 м. Найти разность давлений
внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха
считать t = 0
0C. Молярная масса воздуха = 29 10–3
кг/моль.
4.88 Барометр в кабине летящего самолета все время показывает
одинаковое давление Р 79 103 Па, благодаря чему летчик считает
высоту полета неизменной. Однако, температура воздуха за бортом
изменилась с t1 = 5
0C до t2 = 1
0C. Какую ошибку h в определении
высоты допустил летчик? Давление Р0 у поверхности Земли считать
нормальным, молярная масса воздуха = 29 *10–3
кг/моль.
4.89 В длинном вертикальном сосуде в однородном поле силы
тяжести находится идеальный газ, состоящий из двух сортов молекул
с массами m1 и m2, причем m2 > m1. Концентрации этих молекул у дна
сосуда соответственно равны n1 и n2, причем n2 > n1. Считая, что во
всем сосуде поддерживается одна и та же температура Т, найти
высоту h, на которой концентрации этих сортов молекул будут
одинаковы.
4.90 Идеальный газ находится в бесконечно высоком сосуде в
однородном поле силы тяжести при температуре Т. Температуру
увеличивают в раз. На какой высоте концентрация молекул
останется прежней? Молярная масса газа .
4.91 Определить массу m газа, заключенного в вертикальном
цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S, высота h.
Давление на уровне нижнего основания сосуда Р0. Температура газа
Т, молярная масса . Считать, что температура газа и ускорение
свободного падения не зависят от высоты.
4.92 Определить число молекул N газа, заключенного в
вертикальном цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S,
высота h. Давление на уровне нижнего основания сосуда Р0.
Температура газа Т. Считать, что температура газа и ускорение
свободного падения не зависят от высоты. Молярная масса газа .
4.93 В центрифуге с ротором радиусом r = 0,5 м при температуре
Т = 300 К находится в газообразном состоянии вещество с молярной
массой μ= 0,1 кг/моль. Определить отношение n/n0 концентраций
молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с
частотой n = 30 с–1
.
4.94 Ротор центрифуги, заполненной радоном, вращается с
частотой n = 50 с–1
. Радиус ротора r = 0,5 м. Определить давление
газа Р на стенки ротора, если давление в его центре Р0 = 1 атм. 93
Температуру по всему объему считать одинаковой и равной Т = 300 К.
Молярная масса радона = 222 *10–3
кг/моль.
4.95 Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами
вращают с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси,
проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый
газ при температуре Т = 300 К. Длина трубки b = 100 см. Найти
значение , при котором отношение концентраций молекул у
противоположных торцов трубки = 2. Молярная масса углекислого
газа = 44 10–3
кг/моль.
4.96 В центрифуге находится некоторый газ при температуре
Т = 271 К. Ротор центрифуги радиусом r = 0,4 м вращается с угловой
скоростью = 500 рад/c. Определить молярную массу газа, если
давление Р у стенки ротора в = 2,1 раза больше давления Р0 в его центре.
4.97 Потенциальная энергия молекул газа в некотором
центральном поле зависит от расстояния от центра поля r как
U(r) r
2
, где положительная величина. Температура газа Т,
концентрация молекул в центре поля n0. Найти: а) число молекул,
имеющих потенциальную энергию в пределах (U; U + dU);
б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии.
Источник
StudyPort.Ru — Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
Страница 2 из 3
21. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию (ε) молекул.
22. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии εв молекул.
23. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите для данной температуры отношение средней кинетической энергии ε молекул к их наиболее вероятному значению энергии εв.
24. Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором молекулярном пучке имеет вид f(v) = Av3e-m0v^2, определите: 1) наиболее вероятную скорость; 2) наиболее вероятное значение энергии молекул в этом пучке.
25. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления на уровне моря? При решении считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 C.
26. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли равно p0.
27. Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.
28. На какой высоте плотность воздуха в е раз (е — основание натуральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? Температуру воздуха и ускорение свободного падения считайте не зависящими от высоты.
29. Используя идею установки Перрена для определения постоянной Авогадро и применив к частицам краски, взвешенным в воде, больцмановское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии между двумя слоями 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше, чем в другом. Плотность растворенной краски 1700 кг/м3, а температура окружающей среды 300 К.
30. Определите среднюю длину свободного пробега l молекул кислорода, находящегося при температуре 0 С, если известно среднее число z столкновений, испытываемых молекулой за 1 с, равно 3,7 * 109.
31. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 С? Диаметр молекулы водорода считать равным 0,28 нм.
32. Определите среднюю продолжительность τ свободного пробега молекул водорода при температуре 27 С и давлении 0,5 кПа, принимая диаметр молекулы водорода равным 0,28 нм.
33. Средняя длина свободного пробега l1 молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной.
34. При температуре 300К и некотором давлении средняя длина свободного пробега l молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число столкновений, испытываемых молекулами за 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.
35. Определите: 1) плотность pвоздуха в сосуде; 2) концентрацию n его молекул; 3) среднюю длину свободного пробега (l) молекул, если сосуд откачан до давления 0,13 Па. Диаметр молекул воздуха примите равным 0,27 нм. Температура воздуха 300 К.
36. Определите коэффициент теплопроводности λ азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота равен 0,38 нм.
37. Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности λ кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм.
38. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 С, другая – при 27 С. Определите количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.
39. Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите равным 0,36 нм.
40. Определите массу азота, прошедшего в следствии диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура равна 290 К, а средняя длина свободного пробега молекул равна 1 мкм.
Источник