Какое давление создает лед
Содержание статьи
Какое давление создается при замерзании воды
Какое усилие создает вода, переходя в ледяное состояние?
Если вода замерзает при обычном давлении, то ее плотность с образованием льда уменьшается примерно на 9%. Поэтому замерзающая вода легко рвет стеклянные бутылки. Но что будет, если использовать достаточно прочный сосуд и не давать воде расширяться, но при этом отводить тепло? Тогда часть воды превратится в лед и расширится, а остальная останется жидкой, но сожмется. При этом в системе возрастет давление.
Вода считается почти несжимаемой жидкостью, но в действительности ее плотность возрастает примерно на полпроцента за каждые 100 атмосфер приложенного давления. Значит, когда 5% воды в нашем сосуде замерзнет, объем остальной воды уменьшится на 0,5%, а давление подскочит до 100 атмосфер — как в баллоне у аквалангиста.
По мере замерзания давление будет возрастать, пока не достигнет примерно 6000 атмосфер. К этому времени большая часть воды затвердеет, остатки жидкости будут иметь плотность 1,3 г/см3. Да и структура самого льда тоже измениться под действием давления — он приобретет необычную более плотную структуру называемую лед VI с плотностью 1,3 г/см3.
Итак, усилие, которое может развить замерзающая вода составляет до 6000 атмосфер. Это 5-6 раз больше, чем на дне Марианской впадины. Ни один обычный сосуд такое давление не выдержит, только специальное экспериментальное оборудование.
Я когда-то попытался это посчитать. Даже в «Ленинку» ездил, чтобы узнать коэффициент сжимаемости льда (сейчас бы, конечно, нашел бы в интернете). Получилось вот что.
Я взял такую модель. Толстая плита из прочной стали, в ней шаровая полость с водой при нуле градусов. Охладим плиту на один градус. Лед начнет намерзать на стенках полости. Из литра воды получится 1,09 л льда, который сжимает воду. И уже тонкий слой льда сильно увеличит давление в полости. Формула увеличения давления простая: ?P = ?V/(Vо?). Здесь где ?V — изменение объема сжатой воды, Vо исходный объем воды, ? — ее сжимаемость, она равна 5.10^-5 атм-1. То есть увеличение давления на 1 атм объем воды уменьшится на пять стотысячных начального. (Примерно так же сжимаются рубидий и цезий, а ртуть сжимается на порядок хуже воды.)
Пусть объем полости 10 л, замерзло x л воды, тогда, если подставить все значения, то получится, что изменение давления описывается простой формулой
?P = 2000х/(10 — х) атм. При этом предполагается, что лед не сжимается. Но это не совсем так: он сжимается, но примерно вчетверо хуже, чем вода. И это создает некоторую ошибку в расчетах. А дают они такие числа. Если из 10 л замерзло 0,1 л (при этом образуется слой льда толщиной 0,5 мм — это легко подсчитать), то давление будет примерно 20 атм. И дальше по мере нарастания слоя льда оно будет расти очень быстро. И следует учитывать, что с давлением понижается температура замерзания воды, примерно на один градус на каждые 130 атм. Если не считаться с сжимаемостью льда, можно получить теоретически бесконечное давление. Например, если бы замерзло 9,9 л воды, давление повысилось бы до 200 тысяч атм. Но этого реально не будет. Потому что при больших давлениях лед «ломается», то есть разрушается его кристаллическая решетка (она у обычного льда довольно рыхлая). Это разрушение произойдет при давлении около 2060 атм. При таком давлении вода замерзает уже при минус 22оC. Получается так называемой лед-III (разных льдов известно множество, есть и «горячий лед»; фазовая диаграмма воды изучена довольно хорошо). Результат «ломки льда» — давление перестает расти. Его можно повышать только с помощью пресса. Именно так были получены разные модификации льда, например, тот самый горячий лед-VII. При давлении 30 тысяч атм он плавится только при 190оC.
Источник
С какой силой расширяется вода при замерзании?
Ответ на этот вопрос дать можно, потому что сжимаемость воды известна (она равна 5х10 в минус 5-й степени обратных атмосфер), а сжимаемостью льда можно в первом приближении пренебречь (она примерно в четыре раза меньше). Если воду заключить в полость из очень прочного материала (например, залив ее через канал с резьбой и винтовой пробкой) и начать охлаждать, то вода в полости начнет замерзать с поверхности. При замерзании воды льда получается по объему больше — 1,09 литра из 1 л воды (поэтому лед легче). Образовавшаяся корочка льда начинает сжимать воду. В результате давление быстро растет. Можно подсчитать, что при замерзании всего 1% воды давление будет около 20 атм. Если лед не сжимался, то при замерзании 99% воды давление бы выросло дол 200 тысяч атмосфер. Но уже при 2060 атм (и температуре -22°С) структура льда изменяется, он переходит в плотный лед-III, и давление больше не растет.
Вопрос сформулирован так, что на него невозможно дать определённый ответ. Но тем не менее, описательный ответ дать можно. Зимой 1966-1967 года мне довелось работать на Стерлитамакском химическом заводе. И вот, так сложилось, что посередине зимы цех по производству ацетилена пришлось остановить на капитальный ремонт. В цехе для очистки смеси газов применялось очень вязкое минеральное масло. Чтобы уменьшить вязкость, масло прокачивалось по трубе, которая помещалась в другую трубу (система «труба в трубе»). В межтрубное пространство подавался водяной пар. И вот, когда цех остановили на капремонт, никому не пришло в голову, что межтрубное пространство нужно продуть, и выдуть оттуда пар. Естественно, пар в межтрубном пространстве сконденсировался, конденсат (вода) собралась в самом нижнем участке (горизонтальной) трубы, и замёрзла. При этом она сдавила внутреннюю трубу так, что труба в сечении выглядела как сарделька (или полумесяц). Толщина внутренней трубы была порядка 3-5 мм (дело было давно, точные размеры не помню). Так что можете себе представить, какая сила нужна для того, чтобы вдавить участок стальной трубы внутрь, до образования полумесяца.
Источник
Почему вода превращается в лед не при 0 градусов
Стандартное утверждение о том, что вода замерзает при достижении температуры в 0 градусов Цельсия, на самом деле некий стереотип. Температурных порогов, при которых замерзает вода, существует не так уж мало, и зависят они от разных свойств воды и окружающей обстановки. К примеру, чистая вода может даже замерзнуть при -42°С, в зависимости от условий, в которых она охлаждается.
Почему так происходит
Для формирования кристаллов льда могут использоваться различные частицы и дефекты тары
Чтобы кристаллы льда сформировались, необходима основа, а ею могут стать различные вещества и мелкие тела, например, пылевые частицы. А ожидать, что чистая вода замерзнет, согласно распространенному мнению, при нулевой температуре, не стоит. Ядрами кристаллизации, как известно из курса физики, могут выступать растворенные в воде минеральные и органические частицы, но и не только они.
Кристаллизация может «выбрать» в качестве основы различные дефекты тары, в которой вода в этот момент находится, такие как сколы и трещины, а также воздушные пузырьки. Кстати, так как у горячей воды число ядер кристаллизации больше, то и замерзает она быстрее, чем холодная. Этот интересный факт известен любому старшекласснику. Если сосуд чист, и сама вода тоже, то она может какое-то время при отрицательной температуре находиться в обычном жидком состоянии. Но оно считается неустойчивым, потому что стоит появиться какой-либо посторонней частице, например, пылинке, как вокруг нее немедленно начнет образовываться ледяной кристалл, и вся остальная вода вокруг тоже становится льдом.
Что нужно для замерзания соленой воды
Температура, при которой соленая вода превратится в лед, непосредственно зависит от того, насколько она соленая. То есть большая концентрация соли говорит о том, что температура должна опуститься ниже нуля, чтобы такая жидкость могла стать льдом. Так, вода в океане, начинает становиться льдом, когда температура ее доходит до «минус» 1,9°С.
При этом многих интересует судьба обитателей таких замерзающих вод. Кровь рыб, которые живут в полярных морях, замерзает при «минус» 0,5°С. Просто эти морские обитатели умеют тормозить процесс кристаллизации, благодаря тому, что их организм вырабатывает белки, которые вбрасываются в кровь.
Как влияет на замерзание заряд поверхности, соприкасающейся с водой
Дистиллированная вода замерзает при -42°С
Неспроста считается, что в дистиллированной воде полностью отсутствуют примеси. Этим объясняется тот факт, что замерзать она начинает только при достижении той самой температуры в «минус» 42°С. Путем многочисленных исследований ученые доказали, что замерзание воды при различных температурах также зависит от положительного или отрицательного заряда поверхности, с которой непосредственно соприкасается вода.
Если заряд отрицательный, то температура замерзания ниже, а при положительном — соответственно, наоборот. Если заряд меняется с отрицательного на положительный, то замерзание происходит при более высокой температуре.
Источник
Источник
Сила статического давления льда
При замерзании вода увеличивает свой объем приблизительно на 9%, но давление ледяного поля в процессе его формирования незначительно. Последующее понижение температуры воздуха приводит к понижению температуры льда и уменьшению его объема, как всякого твердого тела, а повышение температуры — к расширению. Давление льда на сооружение проявляется тогда, когда расширению ледяного поля препятствует противоположный берег. Лед примерзает к смерзшемуся грунту берега, и поэтому даже при пологом береге следует ожидать появление давления от температурного расширения льда, которое вызывает силу, равную (2.19) где b — ширина фронта соприкосновения льда с сооружением; hл — максимальная толщина льда обеспеченностью 1%; р — удельное давление льда, определяющееся по СНиП П-57-75; кL — коэффициент, снижающий силу давления льда с увеличением протяженности L ледяного покрова в направлении от сооружения до противоположного берега. Силу давления остановившегося ледяного поля, наваливающегося на сооружение под воздействием ветра, течения воды подо льдом и вследствие уклона потока определяют по формуле (2.20) где v и W — скорости течения воды подо льдом и скорость ветра, м/с; i — уклон поверхности потока; hл — толщина ледяного поля, равная 0,8 от наибольшей, обеспеченностью 1% за зимний период, м; L, — длина ледяного поля, м (при отсутствии натурных наблюдений реки принимается равной утроенной ширине реки) и его площадь, м2. При получаем силу Рл.нав, выраженную в кН, при получаем в кгс. В формуле (2.20) в скобках суммируются следующие силы, отнесенные к единице площади ледяного поля: сила трения потока о нижнюю поверхность поля; гидродинамического давления на кромку поля; сила, обусловленная влиянием уклона поверхности потока; сила трения воздуха о наружную поверхность ледяного покрова. Определение вертикальной нагрузки и изгибающего момента от примерзшего поля, действующего на подпорное сооружение, а также нагрузки от зажорных масс льда. Так же рекомендуем посмотреть:
|
Источник
Какое давление создает лед
Почему лед скользкий
Крайне очевидно, но тем не менее интересно: практически все зимние виды спорта держатся на одном факте — лед скользкий.
Низкое трение льда — это то, почему конькобежцы могут развивать скорость до 55 километров в час, почему фигуристы могут выполнять головокружительные пируэты, и почему 20-килограмовый камень для керлинга может скользить.
Но на протяжении большей части последних двух столетий ученые пытались объяснить то, почему лед скользкий и почему коньки могут так хорошо скользить по нему.
Но есть одно очевидное «но»: кататься на коньках на удивление сложно. Практически невозможно увидеть невооруженным глазом, что происходит, когда лезвие прорезает лед, потому что оно закрывает обзор. А слои льда, по которым скользят коньки, микроскопически тонкие.
Поэтому ученые должны полагаться на свои знания физики и химии для объяснения этого явления. Они предположили несколько объяснений, каждое из которых рассказывает о захватывающем свойстве льда.
Прежде всего самый очевидный вопрос: что такое лед?
Лед — это замерзшая вода. Но то, что происходит, когда вода становится твердой, делает это вещество необычным и крайне увлекательным для изучения.
Для большинства веществ во вселенной твердая фаза плотнее, чем жидкая. Когда материал достаточно охлаждается для образования твердых частиц, его молекулы связываются в узкие связки. Но со льдом происходит немного другое. Когда температура опускается ниже 0° С, водородные связи, которые связывают молекулы воды вместе, расширяют дополнительное пространство между молекулами воды, когда они замерзают.
И, как оказалось, благодаря этим знаниям, можно создать идеальный лед для того или иного вида спорта.
Как объясняет Smithsonian Magazine, лед, используемый на катках для олимпийских видов спорта, представляет собой очищенную воду, распыляемую на катках по одному слою за раз, чтобы создать поверхности безупречной структуры. Толщина и температура льда на Олимпиаде зависит от вида спорта. Фигуристы предпочитают лед, установленный близко к точке плавления при -3 °С для дополнительного сцепления и контроля. Хоккеистам нравится более холодный, жесткий, что делает поверхность более скользкой.
Твердый лед, как не удивительно, менее плотный, чем жидкая вода (именно поэтому айсберги плавают в океане). И для ученых это было ключом к выяснению, почему лед такой скользкий.
Гипотеза 1: давление заставляет лед таять
С 19-го века наиболее распространенным ответом на вопрос «почему лед скользкий» было «потому что лед тает под давлением».
Эта идея взята из работы Джеймса Томпсона, который в 1850-х годах разработал формулу, которая описывает очень странное свойство льда: то есть под высоким давлением лед превращается в воду. Это связано с тем фактом, что твердый лед менее плотный, чем вода. Если вы сжимаете лед, он становится менее устойчивым и тает.
Можно увидеть этот эффект с помощью очень простого эксперимента. Например, взять отрезок проволоки и привязать груз к каждому концу. Затем проложить провод через большой кусок льда. Давление проволоки прорежет чистую линию через лед (которая снова замерзнет, как только проволока пройдет сквозь. Это процесс, называемый « регенерация »).
Заманчиво думать, что именно так работают коньки — что давление, оказываемое тонким лезвием на лед, позволяет ему немного подтаивать, чтобы уменьшить трение и сделать скольжение лучше.
Как объяснил Кеннет Чанг из New York s, человек весом в 68 кг, стоящий на лезвиях, может понизить температуру плавления льда только с 0 °С до -0,1 ° С, в то время как катки для фигурного катания обычно держатся около -3 °С. Проще говоря: фигуристы не могут оказать достаточного давления, чтобы растопить лед.
«Так что, хотя основная идея верна — вы можете растопить лед, создавая давление на него — цифры вообще не работают» — говорит Лиммер.
Таким образом, давление лезвия на лед не может объяснить, почему коньки скользят. Но как насчет трения? Разве скользящее движение коньков на поверхности не может генерировать достаточно тепла, чтобы растопить лед?
Это определенно часть ответа, но это не объясняет, почему лед так необычно скользит.
Гипотеза 2: трение растапливает лед
Что насчет трения? Разве скользящее движение коньков на поверхности не может генерировать достаточно тепла, чтобы растопить лед?
Лиммер объясняет, что трение «является эффектом второго порядка» в проблеме катания на коньках. Трение помогает нам понять, почему коньки могут скользить быстрее и быстрее при движении, но не то, почему они могут это с самого начала.
Гипотеза 3: поверх льда лежит очень маленький слой жидкой воды
За несколько лет до того, как Джеймс Томпсон объяснил, почему давление растапливает лед, физик Майкл Фарадей обнаружил еще одно удивительное свойство льда: тонкий жидкий слой на его поверхности.
Фарадей догадался, что кубики льда слипаются из-за окружающего их слоя жидкости. Когда эти слои жидкости встречаются, затем замерзают вместе.
Этот очень тонкий слой жидкости также делает лед более гладким. Но Фарадей не мог доказать свою гипотезу в то время. Наука об атомах и молекулах еще не была доступна, чтобы помочь ему в объяснении.
В 1987 году ученые подтвердили существование этого «квази жидкостного» слоя с помощью рентгенографии. И это очень, очень тонкий слой. Оценки показывают, что его толщина при -1 ° C составляет от 1 нанометра до 94 нанометров. Это примерно в 1000 раз меньше, чем бактерия.
Но, что интересно, по оценкам профессора Ван Леувена, было бы очень сложно кататься при температуре ниже -30 °C. Даже если на льду все еще будет крошечный слой жидкости, потребуется слишком много трения, чтобы произвести достаточно тепла, чтобы растопить что-либо еще. Кроме того, ниже этой температуры становится все труднее обнаружить крошечный слой жидкости на поверхности льда. Это было бы похоже на катание на гравии.
Источник
Расширение воды при замерзании
Наступает зима, а вместе с ней традиционно приходят аварии на водоопроводах. В сильные морозы основная причина таких аварий — замерзание текущей воды. При этом, как известно, происходит ее расширение, так что образующийся лед легко разрывает трубы (для справки: плотность льда — 917 кг/м 3 , плотность воды — 1000 кг/м 3 , то есть объем увеличивается в 1.1 раза, что довольно существенно). Аналогичное явление происходит, если на зиму оставить воду в емкостях с водой (например, на даче).
Для изучения данного явления в домашних условиях используем обычную консервную банку. В данной банке изначально было концентрированное молоко, которое было вылито через два аккуратно пробитых отверстия. Затем в банку заливается вода — так, чтобы внутри не осталось воздуха. Проще всего это сделать, погрузив ее в кастрюлю с водой. Когда из банки перестанет выходить воздух, она будет полностью заполнена водой.
После этого аккуратно запаиваем отверстия и помещаем нашу банку в морозильную камеру (зимой можно на улицу). Если подождать день-два, то станет хорошо заметно, как расширившаяся вода (лед) выдавила нижнюю крышку банки.
В качестве домашнего задания предлагаю следующие вопросы:
1. Почему замерзающая вода выдавливается именно нижнюю крышку, и практически не влияет на верхнюю? (хорошо видно на видео)
2. Что произойдет с банкой, если сейчас растопить лед, и снова заморозить? Если повторить такую процедуру несколько раз?
0lympian 16 ноября 2010, 12:41 Как запаять ПОЛНУЮ банку с водой? О_о
Ничего не получится — это уже опыт по теплопроводности и теплоемкости
| 0lympian | 16 ноября 2010, 12:47 |
> 1. Почему замерзающая вода выдавливается именно нижнюю крышку, и практически не влияет на верхнюю?
Подозреваю, что в результате того, что лед легче незамерзшей воды, первые кристаллы льда всплывают, комбинируясь друг с другом и в верхней части замерзание происходит быстрее.
Стоит отметить, что с другой стороны, есть конвекция, которая будет действовать ровно наоборот, поднимая более теплую воду наверх, и препятствуя там ледообразованию. Однако мне кажется, что при медленном равномерном промерзании этот эффект нивелируется.
Ну а далее уже готовый лед, сформировавшийся в верхней части еще до сильного расширения, в некоторой степени «держит форму», не позволяя сильно деформироваться крышке.
| 0lympian | 16 ноября 2010, 12:49 |
> 2. Что произойдет с банкой, если сейчас растопить лед, и снова заморозить?
Очевидно, что объем воды вернется к первоначальному. Однако за счет чего — тут есть предположение, что вдавится не донышко (оно сильно сводообразное стало), а боковая стенка банки.
Ну а при последующих циклах, пожалуй, баночка помнется еще сильнее, пока не порвется
| Administrator | 16 ноября 2010, 19:07 |
Как запаять ПОЛНУЮ банку с водой?
Согласен. Идеальное запаивание тут не получается. Так, наляпывание припоя сверху, лишь бы вода не вытекала. Кстати, в месте пайки действительно образуется водяной пар при нагреве паяльником.
Очевидно, что объем воды вернется к первоначальному. Однако за счет чего — тут есть предположение, что вдавится не донышко (оно сильно сводообразное стало), а боковая стенка банки.
Если бы баночка была абсолютно герметична — тогда да, вдавилась бы боковая стенка. А так все равно воздух проникает. Поэтому после разморозки получается, что сверху появляется воздух, во время заморозки дно выдавливается еще сильнее, и так далее, пока совсем его не вырвет.
P. S. Сегодня разморозил банку, и поставил на второе замораживание. Посмотрим, что из этого получится.
владимир 16 ноября 2010, 20:32 1. пробовал запаять не выходит! смог только заварить полуавтоматом (электро-сваркой) заморозил, разморозил дно не втянулось подумал из-за воздуха, взял другую банку впаял пипку от камеры проверил воздухом на 2 атм утечек нет залил воды воздуха нет! заморозил разморозил бока почти не втянулись проверил через час появилось избыточное давление и мне кажется что при заморозке и разморозке воды выделяется растворенный в ней воздух потому и бока не втягиваются
2, вода кристаллизуется сверху (река зимой, бочка с водой) лед легче воды, думаю, что и холодно-проводность.
Administrator 17 ноября 2010, 14:53 Владимир, вы серьезно подошли к эксперименту.
Не написали самое главное — какие банки брали, и что произошло с ними при заморозке воды.
владимир 17 ноября 2010, 21:27 банка такая же как и ваша из-под молока произошло все анологично как у вас после разморозки слегка спало напряжение размораживал при комнатной температуре мне кажется стоит учитывать температуру воды в моем случае это 7 градусов, а комнатная 25 градусов тоже наверное влияет. сейчас проверяю что будет если банки положить набок швом к верху и швом к низу!
Administrator 18 ноября 2010, 06:21 сейчас проверяю что будет если банки положить набок швом к верху и швом к низу!
Интересно! Дайте ссылки на фотографии результатов, если будет возможность.
Евгений 12 января 2011, 18:01 > 1. Почему замерзающая вода выдавливается именно нижнюю крышку, и практически не влияет на верхнюю?
Пологаю что процесс заморозки, учитывая то что банка находилась в пластиковой таре, протикал не ровномерно. Первым стала замерзать верхняя часть банки потому как она была ближе к холоду нижняя же часть нахоидась там где между стенками пластика и ж. банки находился воздух чуть теплее чем с верху. Далее обледенение внутр верхней части банки придовало ей дополнительную прочность но превращаясь в лед вода расширялась и давила на жидкость в нижней части ж. банки.
гражданина 13 июля 2011, 20:46 > 1. Почему замерзающая вода выдавливается именно нижнюю крышку, и практически не влияет на верхнюю?
1. лед образуется сверху. это обусловлено тем, что остывающая (а не замерзающая вода как пишет автор) поднимается к верху за счёт того что при остывании (от 4 градусов до 0) плотность уменьшается.
2. остывающая (а не замерзающая вода как пишет автор) за счет увеличения обьема давит уже не на крышку а на ледяную «шайбу» которая распределяет усилие по всей площади крышки равномерно. наиболее «слабая» часть крышки (от центра) подвергается такому же давлению что и наиболее «сильные» части (возле боковых стенок). вследствие этого усилие создаваемое остывающей водой гаситься «сильной» частью крышки. в нижней же части льда нет, вода давит на «сильные» части, они не прогибаются, общее давление переходит на «слабые» части, не поглощаясь «сильными» (потому что усилие через воду передается во всех направлениях). както вот так.
Wulkan 24 августа 2011, 08:24 Запаивание банки это все ерунда, на даче стояла бочка с водой без крышки, и к весне у нее выдавило днище. скорее всего промерзание идет сверху вниз и внизу создается избыточное давление. лед примерзший к стенкам не дает расширения вверх
Andrey 23 октября 2011, 04:17 Тов. Ученые! А может кто подскажет какое давление оказывает замерзающая вода и образовавшийся лед на стенки сосуда?
Scolar 4 ноября 2011, 12:27 Спасибо, интересный эксперимент! Особенно интересно, что именно нижняя крышка выдавилась. Интересно, это зависит от того, стоит ли банка на ней в морозильнике, или подвешена, к примеру, на пластиковых элементах? Существует также такой фактор, как плавление воды при повышении давления (зависит также от температуры), из-за чего коньки скользят по льду и т. д.
Kalstrams 1 мая 2012, 20:53 Не мудрите. Продавило низ, потому что гравитация работает и на эту банку + то, что с низу самая большая плотность воды при замерзании, по-этому не верху банально не было столько же массы для расширения, сколько ее было снизу.
Давление вычислит можно по p1/p2 = ((n вода)/(n лед))*T1/T2
Выдавится всегда нижняя крышка, разве что банка будет замерзать в условии постоянного вращения. Или в условии отсутствия воздействия гравитации.
Что-бы получить температуру льда для уравнения выше, мерим температуру банки, Q1=Q2, Q1=c*m*dT (банка)
Q2=c2*m2*dT2 + dL*m + c3*m2*dT3
вода охлаждается + вода кристаллизуется + лед охлаждается
dT3 = (c*m*dT-c2*m2*dT2-dL*m)/(c3*m2)
Это будет изменение температуры льда.
Подставите его в T=0+273-dT3 — будет температура Т2.
Температура T1 — воды — термометром когда вода войдет в термодинамическое равновесие с банкой.
p2 — давление льда, p1=pa+((m*9.8)/S(дна))
Вроде бы и все.
Получите p2, который будет равен величине давления, необходимого что-бы выдавить вашу банку на сколько-то.
В упрощенной форме эта задача выглядит так, и результат не абсолютно точен. Для точности тут надо было-бы проинтегрировать, да думаю это перебор.
Источник
Источник